【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
:
,过抛物线焦点
且与
轴垂直的直线与抛物线相交于
、
两点,且
的周长为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线过焦点
且与抛物线
相交于
、
两点,过点
、
分别作抛物线
的切线
、
,切线
与
相交于点
,求:
的值.
【答案】(1);(2)0.
【解析】
(1)先求得A,B两点坐标,利用计算的周长可得p,进而求得抛物线方程;
(2)利用导数的几何意义求得切线与
的方程,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理及
与
的交点P,可得
,再利用焦半径公式求得
,可得结果.
(1)由题意知焦点的坐标为
,将
代入抛物线
的方程可求得点
、
的坐标分别为
、
,
有,
,可得
的周长为
,有
,得
.
故抛物线的方程为
.
(2)由(1)知抛物线的方程可化为
,求导可得
.
设点、
的坐标分别为
、
.
设直线的方程为
(直线
的斜率显然存在).
联立方程消去
整理为:
,可得
.
有,
.
可得直线的方程为
,整理为
.
同理直线的方程为
.
联立方程,解得
,则点
的坐标为
.
由抛物线的几何性质知,
,
.
有
.
∴.
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【题目】某同学假期社会实践活动选定的课题是“节约用水研究”.为此他购买了电子节水阀,并记录了家庭未使用电子节水阀20天的日用水量数据(单位:)和使用了电子节水阀20天的日用水量数据,并利用所学的《统计学》知识得到了未使用电子节水阀20天的日平均用水量为0.48
,使用了电子节水阀20天的日用水量数据的频率分布直方图如下图:
(1)试估计该家庭使用电子节水阀后,日用水量小于0.35的概率;
(2)估计该家庭使用电子节水阀后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
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【题目】在工业生产中,对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件,现有一边长为3(单位:米)的正三角形钢板(如图),沿平行于边的直线
将
剪去,得到所需的梯形钢材
,记这个梯形钢板的周长为
(单位:米),面积为
(单位:平方米).
(1)求梯形的面积
关于它的周长
的函数关系式;
(2)若在生产中,梯形的面积与周长之比(即
)达到最大值时,零件才能符合使用要求,试确定这个梯形的周长
为多时,该零件才可以在生产中使用?
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【题目】半期考试后,班长小王统计了50名同学的数学成绩,绘制频率分布直方图如图所示.
根据频率分布直方图,估计这50名同学的数学平均成绩;
用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名,再在抽取的这6名同学中任选2名,求这两名同学数学成绩均在
中的概率.
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【题目】一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?
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【题目】某公司有男性职工64名,一次体检后,将他们的体重(单位:kg)分组为:,
,
,
,
,绘制出频率分布直方图如图,图中从左到右的前3个小组的频率之比为
.
(1)求这64名男职工中,体重小于60kg的人数;
(2)从体重在kg范围的男职工中用分层抽样的方法选取6名,再从这6名男职工中随机选取2名,记“至少有一名男职工体重大于65kg”为事件
,求事件
发生的概率.
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【题目】如图,已知点在圆柱
的底面
上,
,
,
,
分别为
,
的直径,且
.若圆柱
的体积
,
,
,回答下列问题:
(1)求三棱锥的体积.
(2)在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与所成的角的余弦值为
?若存在,请指出点M的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC,AE=
AB,BD,CE相交于点F.
(Ⅰ)求证:A,E,F,D四点共圆;
(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
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