【题目】如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC,AE=
AB,BD,CE相交于点F.
(Ⅰ)求证:A,E,F,D四点共圆;
(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
【答案】(1)证明过程详见解析;(2).
【解析】试题本题以正三角形为几何背景,考查四点共圆问题以及相似三角形问题,考查学生的转化与化归的能力.第一问,利用已知条件中边的比例关系可得出结论,再利用三角形相似,得出
,所以
,所以可证
四点共圆;第二问,根据所给正三角形的边长为2,利用已知的比例关系,得出各个小边的长度,从而得出
为正三角形,所以得出
,所以
是
所在圆的圆心,而
是半径,即为
.
试题解析:(Ⅰ)证明:∵, ∴
,
∵在正中,
, ∴
,
又∵,
, ∴
, ∴
,
即,所以
四点共圆. 5分
(Ⅱ)解:如图,
取的中点
,连接
,则
,
∵, ∴
,
∵,
, ∴
为正三角形,
∴,即
,
所以点是
外接圆的圆心,且圆
的半径为
.
由于四点共圆,即
四点共圆
,其半径为
. 10分
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
:
,过抛物线焦点
且与
轴垂直的直线与抛物线相交于
、
两点,且
的周长为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线过焦点
且与抛物线
相交于
、
两点,过点
、
分别作抛物线
的切线
、
,切线
与
相交于点
,求:
的值.
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【题目】某小型企业甲产品生产的投入成本x(单位:万元)与产品销售收入y(单位:万元)存在较好的线性关系,下表记录了最近5次该产品的相关数据.
x(万元) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
y(万元) | 8 | 10 | 13 | 17 | 22 |
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)根据(1)中的回归方程,判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大(毛利率)?
相关公式:,
.
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【题目】一个口袋中有个白球和
个红球(
,且
),每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖.
(1)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率
;
(2)若,求三次摸球恰有一次中奖的概率;
(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为,当
为何值时,
取最大值.
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【题目】下列说法中正确的个数是_________.
(1)命题“若,则方程
有实数根”的逆否命题为“若方程
无实数根,则
”.
(2)命题“,
”的否定“
,
”.
(3)若为假命题,则
,
均为假命题.
(4)“”是“直线
:
与直线
:
平行”的充要条件.
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【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA=AC,PB=PD=AC,E是PD的中点,求证:
(1)PB∥平面ACE;
(2)平面PAC⊥平面ABCD.
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【题目】如图,正方体的棱长为
,
分别是
的中点,点
在棱
上, (
).
(Ⅰ)三棱锥的体积分别为
,当
为何值时,
最大?最大值为多少?
(Ⅱ)若平面
,证明:平面
平面
.
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【题目】已知椭圆的中心在原点
,焦点在
轴上,
为椭圆
短轴的一个端点,
、
为椭圆的左、右焦点,线段
的延长线与椭圆
相交于点
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,点为椭圆上一动点(非长轴端点),
的延长线与椭圆交于
点,
的延长线与椭圆交于
点,求
面积的最大值.
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