Question

【题目】一个口袋中有个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．

(1)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；

(2)若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2） ，(3) .

【解析】

试题分析：（1）求古典概型概率，关键正确计算事件所包含的基本事件. 一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有种选法；因此一次摸球中奖的概率.（2）因为每次摸球后把这两个球放回袋中，所以事件为独立重复试验. 由（1）得一次摸球中奖的概率是，所以三次摸球恰有一次中奖的概率是 .(3)同（2）可得三次摸球中恰有一次中奖的概率是，这是三次函数，利用导数求最值. 由知在是增函数，在是减函数，所以当时，取最大值.

试题解析：(1)一次摸球从个球中任选两个，有种选法，

其中两球颜色相同有种选法；

∴一次摸球中奖的概率. 4分

(2)若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是. 8分

(3)设一次摸球中奖的概率是，

则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，

∵，

∴在是增函数，在是减函数，

∴当时，取最大值. 10分

由.

∴时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大． 12分