Question

【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC，PB＝PD＝AC，E是PD的中点，求证：

（1）PB∥平面ACE；

（2）平面PAC⊥平面ABCD．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）连结BD，交AC于点O，连OE，根据底面图像的特点得到O为BD的中点又E是PD的中点，故OE∥PB，进而得到线面平行；（2）根据底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以为正三角形，通过边长关系得到PB =AB =PA，从而，PA⊥AB，同理可证PA⊥AD进而得到PA⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面ABCD.

（1）连结BD，交AC于点O，连OE.

因为底面ABCD是菱形，

所以点O为BD的中点.

又E是PD的中点，故OE∥PB.

又因为OE平面ACE，PB平面ACE.

（2）因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以为正三角形，从而AB = AC.

又PB =AC，PA = AC，

所以PB =AB =PA.

从而，PA⊥AB.

同理可证PA⊥AD，

又因为ABAD = A，且AB，AD平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD.

因为PA平面PAC，所平面PAC⊥平面ABCD.