Question

【题目】如图，已知AB为椭圆E：（a＞b＞0）的长轴，过坐标原点O且倾斜角为135°的直线交椭圆E于C，D两点，且D在x轴上的射影D'恰为椭圆E的长半轴OB的中点．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）若AB＝8，不过第四象限的直线l与椭圆E和以CD为直径的圆均相切，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1) CD的方程为y = -x因为D在x轴上的射影恰恰为椭圆E的长半轴OB的中点，所以，代入椭圆方程得到进而得到离心率；（2）因为AB = 8，所以2a = 8，即a = 4.由（1）知，从而得到圆和椭圆的方程，直线l与以CD为直径的圆相切，所以，即，联立直线l和椭圆E的方程组，并消去y整理得：，因为直线l与椭圆E相切，所以，，化简得，解出参数值即可.

（1）因为直线CD过原点O且倾斜角为135°，

所以CD的方程为y = -x.

因为D在x轴上的射影恰恰为椭圆E的长半轴OB的中点，

所以.

代入椭圆E：得，.

所以椭圆E的离心率.

（2）因为AB = 8，所以2a = 8，即a = 4.由（1）知，.

从而椭圆E：，以CD为直径的圆：.

设直线l的方程为：.

因为直线l与以CD为直径的圆相切，所以，即. ①

联立直线l和椭圆E的方程组，并消去y整理得：.

因为直线l与椭圆E相切，所以，.

化简得，. ②

由①②得，，，所以直线l的方程为.