Question

11．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意x都有f（x+1）=-f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，函数g（x）=f（x）-log_a|x|（a＞0，a≠1）恰有8个零点，则a的值为5．

Answer 1

分析 由题意，作出函数y=f（x）的图象，转化函数g（x）=f（x）-log_a|x|的零点为图象的交点，从而求解．

解答 解：∵定义在R上的函数y=f（x）对任意x都有f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）=1]=-f（x+1）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
若函数g（x）=f（x）-log_a|x|（a＞0，a≠1）恰有8个零点，
则函数y=f（x）与y=log_a|x|（a＞0，a≠1）的图象恰有8个交点，
又由x∈[-1，1]时，f（x）=x²，
故在同一坐标系可作出函数y=f（x）与y=log_a|x|（a＞0，a≠1）的图象如下：

由图可知：函数y=f（x）与y=log_a|x|（a＞0，a≠1）的图象有8个交点时，
log_a5=1，解得：a=5．
故答案为：5

点评 本题考查了学生的作图能力及识图能力，属于难题．