Question

1．已知{a_n}满足（3-a_n+1）（3+a_n）=9，且a₁=3，数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和S_n=$\frac{{{n^2}+n}}{6}$．

Answer 1

分析 通过展开可知3a_n+1-3a_n=-a_n+1a_n，两边同时除以3a_n+1a_n整理可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以首项、公差均为$\frac{1}{3}$的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵（3-a_n+1）（3+a_n）=9-3a_n+1+3a_n-a_n+1a_n=9，
∴3a_n+1-3a_n=-a_n+1a_n，
两边同时除以3a_n+1a_n得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$，
又∵a₁=3，即$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以首项、公差均为$\frac{1}{3}$的等差数列，
∴S_n=$\frac{1}{3}$n+$\frac{n（n-1）}{2}$$•\frac{1}{3}$=$\frac{{{n^2}+n}}{6}$，
故答案为：$\frac{{{n^2}+n}}{6}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．