Question

9．已知数列{a_n}中a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N⁺）
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$（λ为非零整数，n∈N⁺），是否存在确定λ的值，使得对任意n∈N⁺，有C_n+1＞C_n恒成立．若存在求出λ的值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对S_n+1+S_n-1=2S_n+1变形可知（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1，即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N*），计算即得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）知b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，利用错位相减法计算即得结论；
（Ⅲ）通过a_n=n+1可知C_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，通过化简可知要使C_n+1＞C_n恒成立只需λ•（-1）^n-1＜2^n-1恒成立，通过分n为奇数、偶数两种情况讨论可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵S_n+1+S_n-1=2S_n+1，
∴（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1，
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N*），且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是以2为首项、1为公差的等差数列，
∴a_n=2+n-1=n+1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，
设它的前n项和为T_n，则
T_n=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得：-T_n=2•2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹；
（Ⅲ）结论：存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有C_n+1＞C_n．
理由如下：
∵a_n=n+1，∴C_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，
要使C_n+1＞C_n恒成立，则C_n+1-C_n=4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-[4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹]＞0恒成立，
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴λ•（-1）^n-1＜2^n-1恒成立，
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，
当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，
∴λ＜1．
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，
当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜1，
又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有C_n+1＞C_n．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．