Question

14．已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x-1≤0}\\{0＜y-1≤1}\end{array}}\right.$上的一个动点，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OM}$的取值范围是（　　）

• A． [-2，0]
• B． [-2，0）
• C． [0，2]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，设z=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OM}$，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：不等式组等价为$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{1＜y≤2}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OM}$，
∵A（-1，1），M（x，y），
∴z=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OM}$=x-y，
即y=x-z，
平移直线y=x-z，由图象可知当y=x-z，经过点D（0，2）时，直线截距最大，此时z最小为z=0-2=-2．
当直线y=x-z，经过点B（1，1）时，直线截距最小，此时z最大为z=1-1=0．
故-2≤z＜0，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．