Question

4．在△ABC中，S为△ABC的面积，且S=c²-（a-b）²．
（1）求tanC；
（2）当a+b=4时，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得：$\frac{1}{2}absinC={c^2}-（{a^2}+{b^2}-2ab）$，利用余弦定理及三角函数恒等变换化简即可求值．
（2）结合范围C∈（0，π），可求$sinC=\frac{8}{17}$，利用三角形面积公式及基本不等式即可得解．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{1}{2}absinC={c^2}-（{a^2}+{b^2}-2ab）$，
∴$\frac{1}{2}absinC=2ab（1-cosC）$，
∴sinC=4（1-cosC），$2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}=8{sin^2}\frac{C}{2}$，$tan\frac{C}{2}=\frac{1}{4}$，$tanC=\frac{{2tan\frac{C}{2}}}{{1-{{tan}^2}\frac{C}{2}}}=\frac{8}{15}$，
（2）∵C∈（0，π），
∴$sinC=\frac{8}{17}$，
∴$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{4}{17}ab≤\frac{4}{17}{（\frac{a+b}{2}）^2}=\frac{16}{17}$．
当且仅当a=b=2时${S_{max}}=\frac{16}{17}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，属于中档题．