Question

16．如图，为了测得河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测得CD=a，∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠BDC=105°，∠ADC=60°，则AB=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$a
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a
• D． a

Answer 1

分析 分别在△ACD中和△BCD中由已知结合正弦定理求得AC、BC的长度，再在△ACB中由余弦定理求得AB．

解答 解：如图，在△ACD中，由∠ACD=60°，∠ADC=60°，可得△ACD为正三角形，
∵CD=a，∴AC=a．
在△BCD中，由∠BCD=30°，∠BDC=105°，CD=a，
则$\frac{BC}{sin105°}=\frac{a}{sin45°}$，∴BC=$\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}a$，
在△ACB中，AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB
=${a}^{2}+（\frac{\sqrt{3}+1}{2}a）^{2}-2•a•\frac{\sqrt{3}+1}{2}a•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$．
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
故选：B．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查解三角形中的距离问题，是中档题．