Question

5．设{a_n}为等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₇=7，S₁₅=75．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2^a_n+n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的求和公式${S_n}=n{a_1}+\frac{1}{2}n（{n-1}）d$化简S₇=7、S₁₅=75可知a₁=-2、d=1，进而可得结论；
（Ⅱ）通过a_n=n-3可知b_n=$\frac{1}{8}$×2ⁿ+n，利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
则${S_n}=n{a_1}+\frac{1}{2}n（{n-1}）d$，
∵S₇=7，S₁₅=75，
∴$\left\{\begin{array}{l}7{a_1}+21d=7\\ 15{a_1}+105d=75\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a_1}+3d=1\\{a_1}+7d=5\end{array}\right.$，
解得：a₁=-2，d=1，
∴a_n=n-3；
（Ⅱ）∵a_n=n-3，
∴${b_n}={2^{a_n}}+n={2^{n-3}}+n=\frac{1}{8}×{2^n}+n$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$（\frac{1}{8}×{2^1}+1）+（\frac{1}{8}×{2^2}+2）+（\frac{1}{8}×{2^3}+3）+…+（\frac{1}{8}×{2^n}+n）$
=$\frac{1}{8}×（{2^1}+{2^2}+{2^3}+…{2^n}）+（1+2+3+…n）$
=$\frac{1}{8}×（{2^{n+1}}-2）+\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{1}{4}×（{2^n}-1）+\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．