Question

10．已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0，及点Q（-2，3），
（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（2）若实数m，n满足m²+n²-4m-14n+45=0，求$k=\frac{n-3}{m+2}$的最大值和最小值；
（3）过x轴上一点P作圆C的切线，切点为R，求PR的最小值，并指出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将圆C：x²+y²-4x-14y+45=0可化为（x-2）²+（y-7）²=8，从而确定圆心与半径，从而得到点Q在圆外，从而求|MQ|的最大值与最小值．
（2）$k=\frac{n-3}{m+2}$的几何意义是圆上一点M（m，n）与A（-2，3）连线的斜率，则当直线n-km-2k-3=0与圆C相切时，圆心到直线的距离等于半径，求出k的最值，即可求出k取的最值．
（3）利用圆的半径是定值以及圆心是定点，通过切线长与半径以及PC的距离满足勾股定理，判断P的位置，求出最小值以及P的坐标．

解答 解：（1）将圆C：x²+y²-4x-14y+45=0可化为
（x-2）²+（y-7）²=8，
则圆心C（2，7），半径r=2$\sqrt{2}$，
又∵Q（-2，3），
∴|QC|=4$\sqrt{2}$，
∴点Q在圆外，
则由|QC|-2$\sqrt{2}$≤|MQ|≤|QC|+2$\sqrt{2}$得，
|MQ|_max=6$\sqrt{2}$，|MQ|_min=2$\sqrt{2}$．
（2）$k=\frac{n-3}{m+2}$的几何意义是圆上一点M（m，n）与A（-2，3）连线的斜率，
则当直线n-km-2k-3=0与圆C相切时ν取的最值，
则$\frac{|7-2k-2k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
解得k=2-$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$，
则$k=\frac{n-3}{m+2}$的最大值和最小值分别为：2$+\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$．
（3）将圆C：x²+y²-4x-14y+45=0的圆心C（2，7），半径r=2$\sqrt{2}$，
过x轴上一点P作圆C的切线，切点为R，PR的最小值，就是过圆的圆心作x轴的垂线，垂足为P，
∴PR=$\sqrt{{7}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{41}$．
此时点P的坐标（2，0）．

点评 本题考查了直线与圆，点与圆的位置关系，点在圆外时d-r≤|MQ|≤d+r，从而求最值，直线与圆相切时有最值，属于中档题．