Question

20．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）的图象经过点E（$\frac{π}{4}$，$\sqrt{3}$），F（$\frac{π}{3}$，1），其中A≠0，φ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）求φ的值，并求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=$\frac{2}{3}$，求sin（$\frac{7π}{6}$-4θ）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点的坐标满足曲线方程，列出方程组即可求φ的值，利用正弦函数的单调性求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）通过f（θ）=$\frac{2}{3}$，求sin（2θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，然后利用诱导公式化简sin（$\frac{7π}{6}$-4θ），即可求解sin（$\frac{7π}{6}$-4θ）的值．

解答 （本题满分10分）
解：（Ⅰ）由题意函数f（x）=Asin（2x+φ）的图象经过点E（$\frac{π}{4}$，$\sqrt{3}$），F（$\frac{π}{3}$，1），
得$\left\{\begin{array}{l}Asin（\frac{π}{2}+φ）=\sqrt{3}\\ Asin（\frac{2π}{3}+φ）=1\end{array}\right.$（1分）
则cosφ=$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$+φ），（2分）
展开得cosφ=$\sqrt{3}$（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$cosφ-$\frac{1}{2}$sinφ），
则$\sqrt{3}$sinφ=cosφ，所以tanφ=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，又φ∈（0，$\frac{π}{2}$），所以φ=$\frac{π}{6}$．（3分）
把φ=$\frac{π}{6}$代入Acosφ=$\sqrt{3}$，得A=2，所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．（4分）
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
所以f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．（6分）
（Ⅱ）由f（θ）=$\frac{2}{3}$，得sin（2θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，（7分）
则sin（$\frac{7π}{6}$-4θ）=sin[$\frac{3π}{2}$-2（2θ+$\frac{π}{6}$）]=-cos2（2θ+$\frac{π}{6}$）
=2sin²（2θ+$\frac{π}{6}$）-1=2×$\frac{1}{9}$-1=-$\frac{7}{9}$．（10分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查分析问题解决问题的能力．