Question

5．已知点M到点F（2，0）的距离比到点M到直线x+6=0的距离小4；
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若曲线C上存在两点A，B关于直线l：y=$\frac{1}{4}$x-2对称，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）通过设M（x，y），利用点M到点F（2，0）的距离比点M到直线x+6=0的距离小4，化简即得结论；
（2）通过设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）可知（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），利用直线AB的斜率为-4可知$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-4，进而可知AB中点的坐标为（4，-1），计算即得结论．

解答 解：（1）设M（x，y），
∵点M到点F（2，0）的距离比点M到直线x+6=0的距离小4，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-0）^{2}}$+4=|x+6|，
化简得：y²=8x，
∴点M的轨迹C的方程为：y²=8x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${{y}_{1}}^{2}$=8x₁，${{y}_{2}}^{2}$=8x₂，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），
又∵直线AB的斜率为-4，
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-4，
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{1}{8}（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{2}-{y}_{1}）}$=-4，即$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=-1，
∴AB中点的坐标为（4，-1），
∴直线AB的方程为：y+1=-4（x-4），即4x+y-15=0，
经检验，此时直线AB与抛物线有两个不同的交点，满足题意．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．