Question

19．（1）已知f（x）=ax³+bx²+cx-1是R上的偶函数，且f（1）=0，则f（x）=x²-1；
（2）已知对于x∈[0，+∞），有f（x）=x（x-1），且f（x）是R上的奇函数，则对于x∈（-∞，0），f（x）=x（-x-1）．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=ax³+bx²+cx-1是R上的偶函数，求出a=c=0，利用f（1）=0，求出b，即可求出f（x）；
（2）设x＜0，则-x＞0，由已知条件可得：f（-x）=-x（-x-1），即-f（x）=-x（-x-1），由此求得x＜0时的f（x）的表达式．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx-1是R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），即a（-x）³+b（-x）²-cx-1=ax³+bx²+cx-1，
∴a=c=0，
∴f（x）=bx²-1，
∵f（1）=0，
∴b=1，
∴f（x）=x²-1；
（2）设x＜0，则-x＞0，
由当x≥0时f（x）=x（x-1）可得：f（-x）=-x（-x-1）．
再由函数为奇函数可得-f（x）=-x（-x-1），
∴f（x）=x（-x-1）．
故x＜0时f（x）的表达式为：f（x）=x（-x-1）．
故答案为：x²-1；x（-x-1）．

点评 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题．