Question

【题目】十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入.2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：

（1）由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数(每组数据取区间的中点值)，近似为样本方差.若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；

（2）为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个.让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次).若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X，他取球的次数为随机变量Y.

①证明：为等比数列；

②求Y的数学期望.(精确到0.001)

参考数据：.若随机变量则.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②..

【解析】

(1)根据题意求出样本平均数即可得出即,则可根据,求出其所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；

(2) ①因为每次取球都恰有的概率取到红球,即，则可证明之.

②根据①所求的,根据当时,,代入,再利用错位相减求出其值即可.

（1）由题意知：

所以样本平均数为（万元），

所以，

所以，

而.

故1万户农户中，Z落在区间的户数约为.

（2）①每次取球都恰有的概率取到红球.

则有，

，

故为以为首项为公比的等比数列.

②由①可知，当时,,

.

故Y的数学期望为

设，

则，

两式作差得,

.