Question

20．如图，摄影爱好者在某公园A处发现正前方B处有一根立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为$\frac{π}{6}$，设摄影爱好者的眼睛（S）离地面的高度为$\sqrt{3}$m．
（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN，绕其中点O在SA与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为$\frac{π}{3}$的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

Answer 1

分析 （1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=$\sqrt{3}$，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB
（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（-cosθ，-sinθ），由（Ⅰ）知S（3，-$\sqrt{3}$），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN∈[$\frac{11}{13}$，1]，结合余弦函数的性质可求答案．

解答 解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=$\sqrt{3}$，故在Rt△SAB中，可求得BA=$\frac{SA}{tan30°}$=3，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=$\sqrt{3}$，
又BC=SA=$\sqrt{3}$，故OB=2$\sqrt{3}$，即立柱的高度为2$\sqrt{3}$米．…（6分）

（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
则N（-cosθ，-sinθ），由（1）知S（3，-$\sqrt{3}$）．…（8分）
故$\overrightarrow{SM}$=（cosθ-3，sinθ+$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{SN}$=（-$\sqrt{（-cosθ-3）^{2}+（-sinθ+\sqrt{3}）^{2}}$=，-sinθ+$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{SM}$•$\overrightarrow{SN}$=（cosθ-3）（-cosθ-3）+（sinθ-$\sqrt{3}$）（-sinθ-$\sqrt{3}$）=11（10分）
|$\overrightarrow{SM}$|•|$\overrightarrow{SN}$|=$\sqrt{169-48co{s}^{2}（θ+\frac{π}{6}）}$∈[11，13]…（12分）
所以cos∠MSN∈[$\frac{11}{13}$，1]，
∴∠MSN＜60°恒成立
故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面

点评 本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．