Question

【题目】某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的所有岗位共分为A、B、C三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）．

工种类别	A	B	C
赔付频率

（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；
（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设工种A的每份保单保费为a元，设保险公司每单的收益为随机变量X，

则X的分布列为：

X	a	a﹣50×104
P	1﹣

保险公司期望收益为 =a﹣5

根据规则a﹣5≤0.2a

解得a≤6.25元，

设工种B的每份保单保费为b元，赔付金期望值为 元，

则保险公司期望利润为b﹣10元，根据规则b﹣10≤0.2b，解得b≤12.5元，

设工种C的每份保单保费为c元，赔付金期望值为 元，

则保险公司期望利润为c﹣50元，根据规则c﹣50≤0.2c，解得c≤62.5元．

（Ⅱ）购买A类产品的份数为20000×60%=12000份，

购买B类产品的份数为20000×30%=6000份，

购买C类产品的份数为20000×10%=2000份，

企业支付的总保费为12000×6.25+6000×12.5+2000×62.5=275000元，

保险公司在这宗交易中的期望利润为275000×20%=55000元．

【解析】（Ⅰ）设工种A的每份保单保费为a元，设保险公司每单的收益为随机变量X，求出X的分布列和保险公司期望收益，根据规则a﹣5≤0.2a，从而a≤6.25元，设工种B的每份保单保费为b元，求出赔付金期望值为10元，则保险公司期望利润为b﹣10元，根据规则b﹣10≤0.2b，解得b≤12.5元，设工种C的每份保单保费为c元，求出赔付金期望值为50元，则保险公司期望利润为c﹣50元，根据规则c﹣50≤0.2c，解得c≤62.5元．（Ⅱ）购买A类产品的份数为12000份，购买B类产品的份数为6000份，购买C类产品的份数为2000份，由此能求出保险公司在这宗交易中的期望利润．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．