Question

如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|

AB

+

BC

|=

 

，|

BC

-

EF

|=

 

，

EF

与

AC

所成的角为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,空间向量及应用

分析：运用向量加法的三角形法则，即可得到向量AC的模；运用向量的平方即为模的平方，结合向量数量积的定义，即可得到|

BC

-

EF

|；求出

EF

•

AC

，再由夹角公式，即可得到．

解答： 解：由于四面体ABCD的每条棱长都等于2，
则|

AB

+

BC

|=|

AC

|=2；
|

BC

-

EF

|²=|

BC

-

1

2

BD

|²=

BC

2-

BC

•

BD

+

1

4

BD

2
=4-2×2×cos60°+

1

4

×4=3，
即有|

BC

-

EF

|=

3

；

EF

•

AC

=

1

2

BD

•（

BC

-

BA

）=

1

2

（

BD

•

BC

-

BD

•

BA

）
=

1

2

（2×2×

1

2

-2×2×

1

2

）=0，
即有

EF

⊥

AC

，
则

EF

与

AC

所成的角为90°．
故答案为：2，

3

，90°．

点评：本题考查空间向量的数量积的定义和性质，考查向量的模的公式，向量垂直的条件，向量夹角的求法，考查运算能力，属于基础题．