Question

已知函数f（x）=|2x-a|+a（a＞0），若f（x）+f（-x）＜4有解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：化简f（x）=|2x-a|+a=

2x，x≥ a 2 2a-2x，x＜ a 2

，从而讨论化简f（x）+f（-x）＜4有解，从而求解．

解答： 解：f（x）=|2x-a|+a=

2x，x≥ a 2 2a-2x，x＜ a 2

，
①若有解在x≥

a

2

上，则
f（x）+f（-x）=2x+2a+2x＜4；
故4x+2a＜4；
故4×

a

2

+2a＜4；
故a＜1；
②若有解在x＜

a

2

上，则
f（x）+f（-x）=2a-2x+2a+2x=4a＜4；
故a＜1；
综上所述，
a的取值范围为（0，1）．

点评：本题考查了分段函数的化简与不等式中的应用，同时考查了存在性命题，属于中档题．