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已知曲线数学公式
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)求斜率为4的曲线的切线方程.

解:(1)∵P(2,4)在曲线上,且y'=x2
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y'|x=2=4;
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0),
则切线的斜率
∴切线方程为y-()=x02(x-x0),

∵点P(2,4)在切线上,
∴4=2x02-,即x03-3x02+4=0,
∴x03+x02-4x02+4=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0
解得x0=-1或x0=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
(3)设切点为(x0,y0
则切线的斜率为k=x02=4,x0=±2.切点为(2,4),(-2,-
∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+=4(x+2)
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.
分析:(1)根据曲线的解析式求出导函数,把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率,根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可;
(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标,把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率,根据切点坐标和表示出的斜率,写出切线的方程,把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程,求出方程的解即可得到切点横坐标的值,分别代入所设的切线方程即可;
(3)设出切点坐标,由切线的斜率为4,把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程,求出方程的解即可得到切点的横坐标,代入曲线方程即可求出相应的纵坐标,根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可.
点评:此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程,是一道综合题.学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”,还是“过某点的切线”;同时解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决.
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   如图所示,已知曲线交于点O、A,直线与曲线分别交于点D、B,连结OD,DA,AB.

(1)求证:曲边四边形ABOD(阴影部分:OB为抛物线弧)的面积的函数表达式为

(2)求函数在区间上的最大值.

 

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