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(本题满分14分)
如图所示,已知曲线与曲线交于点O、A,直线(0<t≤1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B,连接OD、DA、AB。

(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式
(2)求函数在区间上的最大值。

解:(1)由

解得(2分)∴O(0,0),A(a,a2)。
又由已知得B(t,-t2+2at),D(t,t2),
  
    …… 6分
(2)=t2-2at+a2,令=0,即t2-2at+a2=0。解得t=(2-)a或t=(2+)a.
∵0<t≤1,a>1, ∴t=(2+)a应舍去。 即t=(2-)a                    8分
若(2-)a≥1,即a≥时,∵0<t≤1,∴≥0。
在区间上单调递增,S的最大值是=a2-a+.            10分
若(2-)a<1, 即1<a<时,
当0<t<(2-)a时,.                                      
当(2-)a<t≤1时,.
在区间(0, (2-)a]上单调递增,在区间[(2-)a,1]上单调递减。
=(2-)a是极大值点,也是最大值点                                 12分
的最大值是f((2-)a)=[ (2-)a]3-a[(2-)a]2+a2(2-)a=.13分

解析

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