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(本题满分14分)如图,正方形的边长都是1,平面平面,点上移动,点上移动,若

(I)求的长;

(II)为何值时,的长最小;

(III)当的长最小时,求面与面所成锐二面角余弦值的大小.

 

【答案】

 

(1)

(2)

(3)

【解析】解:(Ⅰ)作MP∥AB交BC于点P,NQ∥AB交BE于点Q,连结PQ,依题意可得MP∥NQ,且MP=NQ,

即MNQP是平行四边形,∴  MN=PQ.

由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴  AC=BF=

即 

                         ………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ),所以,当

即M、N分别移动到AC、BF的中点时,MN的长最小,最小值为 ………………9分

(Ⅲ)取MN的中点G,连结AG、BG,

∵  AM=AN,BM=BN,G为MN的中点

∴  AG⊥MN,BG⊥MN,∠AGB即为二面角A-MN-B的平面角,

 
又AG=BG=,所以,由余弦定理有

               

∴所求余弦值为               …14分

 

 

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