【题目】如图,在等腰梯形中,,,,四边形为矩形,平面平面,.
(1)求证:平面;
(2)点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的平面角为(),试求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)在等腰梯形中由已知求出,根据余弦定理求出,再由勾股定理可证,结合已知平面平面,即可证明结论;
(2)以为坐标原点建立空间直角坐标系,设,得到坐标,求出平面的法向量,是平面的一个法向量,利用空间向量面面角公式,求出的关于的关系式,由的取值范围,即可求出结论.
(1)在梯形中,∵,
,,∴,
∴,
∴,∴.
又平面平面,
平面平面,
平面,
∴平面
(2)由(1)知,可分别以,,所在的直线为轴,
轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令,则,
,,,
∴,.
设为平面的法向量,
由,得,
取,则为平面的一个法向量,
是平面的一个法向量,
∴.
∵,∴当时,有最小值,
当时,有最大值,∴.
又∵
∴
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【题目】某班共有名学生,已知以下信息:
①男生共有人;
②女团员共有人;
③住校的女生共有人;
④不住校的团员共有人;
⑤住校的男团员共有人;
⑥男生中非团员且不住校的共有人;
⑦女生中非团员且不住校的共有人.
根据以上信息,该班住校生共有______人
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【题目】若存在实数使得则称是区间的一内点.
(1)求证:的充要条件是存在使得是区间的一内点;
(2)若实数满足:求证:存在,使得是区间的一内点;
(3)给定实数,若对于任意区间,是区间的一内点,是区间的一内点,且不等式和不等式对于任意都恒成立,求证:
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【题目】若函数满足:对任意实数以及定义中任意两数、(),恒有,则称是下凸函数.
(1)证明:函数是下凸函数;
(2)判断是不是下凸函数,并说明理由;
(3)若是定义在上的下凸函数,常数,满足:,,且,求证:,并求在上的解析式.
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