Question

【题目】如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为（），试求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）在等腰梯形中由已知求出，根据余弦定理求出，再由勾股定理可证，结合已知平面平面，即可证明结论；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，得到坐标，求出平面的法向量，是平面的一个法向量，利用空间向量面面角公式，求出的关于的关系式，由的取值范围，即可求出结论.

（1）在梯形中，∵，

，，∴，

∴，

∴，∴.

又平面平面，

平面平面，

平面，

∴平面

（2）由（1）知，可分别以，，所在的直线为轴，

轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，

，，，

∴，.

设为平面的法向量，

由，得，

取，则为平面的一个法向量，

是平面的一个法向量，

∴.

∵，∴当时，有最小值，

当时，有最大值，∴.

又∵

∴