【题目】若函数满足:对任意实数以及定义中任意两数、(),恒有,则称是下凸函数.
(1)证明:函数是下凸函数;
(2)判断是不是下凸函数,并说明理由;
(3)若是定义在上的下凸函数,常数,满足:,,且,求证:,并求在上的解析式.
【答案】(1)证明见解析; (2) 不是;理由见解析; (3)证明见解析;
【解析】
(1)根据定义,代入不等式作差证明不等式成立,即可证明函数是下凸函数.
(2)利用特殊值法, 令代入后检验不等式左右的大小,即可判断不等式是否成立.
(3)根据极限定义,可求得当时的极限值;结合不等式,即可求得的值.进而利用赋值法求得上的解析式.
(1)证明:对任意实数、(),
有
因为,实数、()
所以
即
所以函数是下凸函数
(2)不是下凸函数
理由如下:
则不等式左边
不等式右边
因为,
所以,即
即
所以
与定义矛盾
所以不是下凸函数
(3)证明:因为是定义在上的下凸函数,常数,满足:,,且
所以当时,
而对于任意,
所以
而当时,由 可得
综上可知,即
得证.
根据下凸函数满足,
令
代入可得
而
所以,
又因为,
所以当时
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
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【题目】某旅游胜地欲开发一座景观山,从山的侧面进行勘测,迎面山坡线由同一平面的两段抛物线组成,其中所在的抛物线以为顶点、开口向下,所在的抛物线以为顶点、开口向上,以过山脚(点)的水平线为轴,过山顶(点)的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米).已知所在抛物线的解析式,所在抛物线的解析式为
(1)求值,并写出山坡线的函数解析式;
(2)在山坡上的700米高度(点)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站,索道的起点选择在山脚水平线上的点处,(米),假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线当索道在上方时,索道的悬空高度有最大值,试求索道的最大悬空高度;
(3)为了便于旅游观景,拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶,台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图).试求出前三级台阶的长度(精确到厘米),并判断这种台阶能否一直铺到山脚,简述理由?
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【题目】如图,在等腰梯形中,,,,四边形为矩形,平面平面,.
(1)求证:平面;
(2)点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的平面角为(),试求的取值范围.
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【题目】某学校为调查高三年级学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取100名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(图(2)).已知图(1)中身高在的男生人数有16人.
(1)试问在抽取的学生中,男,女生各有多少人?
(2)根据频率分布直方图,完成下列的列联表,并判断能有多大(百分之几)的把握认为“身高与性别有关”?
总计 | |||
男生身高 | |||
女生身高 | |||
总计 |
(3)在上述100名学生中,从身高在之间的男生和身高在之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法,抽出6人,从这6人中选派2人当旗手,求2人中恰好有一名女生的概率.
参考公式:
参考数据:
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】设集合是实数集的子集,如果正实数满足:对任意都存在使得则称为集合的一个“跨度”,已知三个命题:
(1)若为集合的“跨度”,则也是集合的“跨度”;
(2)集合的“跨度”的最大值是4;
(3)是集合的“跨度”.
这三个命题中正确的个数是()
A.0B.1C.2D.3
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
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【题目】已知A(4,0)、B(1,0),动点M满足|AM|=2|BM|.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)直线l:x+y=4,点N∈l,过N作轨迹C的切线,切点为T,求NT取最小时的切线方程.
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