Question

【题目】已知A（4，0）、B（1，0），动点M满足|AM|=2|BM|．

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）直线l：x+y=4，点N∈l，过N作轨迹C的切线，切点为T，求NT取最小时的切线方程．

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=4（2）x=2或x+2y-6=0

【解析】

（1）直接利用两点间的距离公式的应用求出曲线的方程．

（2）利用直线与圆的切线的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论思想的求出直线的方程．

（1）已知，动点满足 ．

设点 ，所以，整理得．

（2）由于为圆的切线，所以连接和，

在直角三角形中， ，又有为定值．

所以当取最小值时， 取最小值．

的最小值为圆心到直线的距离．

所以|NT|的最小值为．

此时与直线垂直，且过原点，所以直线ON的直线方程为．

联立和，解得．

即过点做圆的切线，求出切线的方程．

①当直线的斜率存在时，，由圆心到直线的距离，

解得，即切线的方程为．

②直线的斜率不存在时， ，满足题意．

故当取最小值时切线的方程为或．