Question

20．设f（x）为定义R在的偶函数，当0≤x≤2时，y=$\frac{3x}{2}$；当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在p（3，4），且过点A（2，3）的抛物线的一部分．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在下面的直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象，写出函数f（x）的单调区间（无需证明）．

Answer 1

分析 （1）根据已知结合二次函数的图象和性质，及偶函数f（x）=f（-x）的性质，可得函数f（x）的解析式；
（2）画出函数的图象，数形结合，可得函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）由题意，当x＞2时设f（x）=a（x-3）²+4，
带入点A（2，3）得a=-1，
∴f（x）=-（x-3）²+4，
当-2≤x＜0时，当0＜-x≤2时，
f（x）=f（-x）=-$\frac{3x}{2}$；
当x＜-2时，-x＞2，
f（x）=f（-x）=-（-x-3）²+4=）=-（x+3）²+4，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-（x+3）^{2}+4，x＜-2\\-\frac{3x}{2}，-2≤x＜0\\ \frac{3x}{2}，0≤x≤2\\-（x-3）^{2}+4，x＞2\end{array}\right.$；
（2）函数图象如下图所示：

有图可知：f（x）的单调递增区间为（-∞，-3]，[0，3]…（10分）
单调递减区间为[-3，0]，[3，+∞）…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的图象，二次函数的图象和性质，函数的单调性，难度中档．