Question

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC平分线BE交AC于点E，点D在AB上，∠DEB=90°．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若AD=2$\sqrt{3}$，AE=6，求△BDE的面积．

Answer 1

分析 （I）取BD的中点O，连接OE，通过证明OE⊥AC，可得AC是△BDE的外接圆的切线．
（II）利用射影定理AE²=AD•AB，求出AB，推出∠DBE=30°，求出BE=6，然后求解三角形的面积．

解答 解：（I）取BD的中点O，连接OE，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，
又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE，
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线；…（5分）
（II）∵$AD=2\sqrt{3}$，AE=6，AE²=AD•AB，
∴$AB=6\sqrt{3}$，∴$OE=\frac{1}{2}DB=2\sqrt{3}=\frac{1}{2}AO$，
∴∠A=30°，∴∠DBE=30°，∴$DE=2\sqrt{3}$，BE=6，
∴△BDE的面积是$6\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查圆的切线的证明，三角形的面积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力．