Question

11．抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线$\frac{x^2}{a}-{y^2}$=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则双曲线的离心率为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由题意可求抛物线线y²=2px的准线，从而可求p，进而可求M，由双曲线方程可求A，根据双曲线的一条渐近线与直线AM平行，由斜率相等可求a，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：抛物线线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-4
∴p=8，
则点M（1，4），双曲线$\frac{x^2}{a}-{y^2}$=1的左顶点为A（-$\sqrt{a}$，0），
所以直线AM的斜率为k=$\frac{4}{1+\sqrt{a}}$，
由题意可知：$\frac{4}{1+\sqrt{a}}$=$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴a=$\frac{1}{9}$，
∴双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{\frac{1}{9}+1}}{\frac{1}{3}}$=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了抛物线的性质的应用，双曲线的性质的应用，解题的关键是灵活利用抛物线的定义求出抛物线的准线方程．