Question

4．设函数f（x）=min$\left\{{2\sqrt{x}，|x-2|}\right\}$其中min$\{a，b\}=\left\{\begin{array}{l}a，a≤b\\ b，b≤a\end{array}$，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个交点，它们的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的范围为（4，8-2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由f（x）表达式作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通过解方程可用m把x₁，x₂，x₃分别表示出来，即可求出得x₁+x₂+x₃的取值范围

解答 解：作出函数f（x）的图象如下图所示：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{x}}\\{y=|x-2|}\end{array}\right.$，解得A（4-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$-2），
由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2$\sqrt{3}$-2．
不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
则由2$\sqrt{{x}_{1}}$=m得x₁=$\frac{{m}^{2}}{4}$，由|x₂-2|=2-x₂=m，
得x₂=2-m，由|x₃-2|=x₃-2=m，
得x₃=m+2，且2-m＞0，m+2＞0，
∴x₁+x₂+x₃=$\frac{{m}^{2}}{4}$+（2-m）+（2+m）=$\frac{{m}^{2}}{4}$+4，
当m=0时，$\frac{{m}^{2}}{4}$+4有最小值为4，
当m=2$\sqrt{3}$-2时，$\frac{{m}^{2}}{4}$+4有最大8-2$\sqrt{3}$，
∴x₁+x₂+x₃的取值范围是（4，8-2$\sqrt{3}$）
故答案为：（4，8-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查函数与方程的综合运用，以及数形结合思想，综合运用知识分析解决新问题的能力，属于中档题．