Question

16．用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数；例如：9的因数有1，3，9，g（9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2²⁰¹⁵-1）=$\frac{{4}^{2015}-1}{3}$．

Answer 1

分析 本题解决问题的关键是利用累加法和信息题型的应用，即利用出题的意图求数列的和．

解答 解：根据g（n）的定义易知当n为偶数时，g（n）=g（$\frac{1}{2}$n），
且若n为奇数则g（n）=n，
令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）
则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ⁺¹-1）
=1+3+…+（2ⁿ⁺¹-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）
=$\frac{{2}^{n}（1+{2}^{n+1}-1）}{2}$+g（1）+g（2）+…+g（2ⁿ-1）=4ⁿ+f（n）
即f（n+1）-f（n）=4ⁿ
分别取n为1，2，…，n并累加得f（n+1）-f（1）=4+4²+…+4ⁿ=（4ⁿ-1）
又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$+1
所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）=$\frac{4}{3}$（4^n-1-1）+1
令n=2015得
g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2²⁰¹⁵-1）=$\frac{{4}^{2015}-1}{3}$．
故答案为：$\frac{{4}^{2015}-1}{3}$

点评 本题考查的知识要点：信息题型的应用，利用累加法求数列的和，及相关的运算问题．