Question

7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数a满足$f（{log_2}a）+f（{log_{\frac{1}{2}}}a）≤2f（1）$，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，2]
• B． $[\frac{1}{2}，2]$
• C． [2，+∞）
• D． $（0，\frac{1}{2}]∪[{2，+∞}）$

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行转化，结合对数函数的运算性质，即可比较大小．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴不等式$f（{log_2}a）+f（{log_{\frac{1}{2}}}a）≤2f（1）$，
等价为f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即2f（log₂a）≤2f（1），f（log₂a）≤f（1），
即f（|log₂a|）≤f（1），
∵在区间[0，+∞）上单调递减，
∴|log₂a|≥1，
即log₂a≥1或log₂a≤-1，
解得a≥2或0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．