Question

20．已知函数f（x）=x³-ax²，常数a∈R．
（Ⅰ）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）与直线y=x-1只有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=1代入函数解析式，设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入点（1，0），求得切点横坐标，则过（1，0）点的切线方程可求；
（Ⅱ）把曲线y=f（x）与直线y=x-1只有一个交点转化为关于x的方程ax²=x³-x+1只有一个实根，进一步转化为方程$a=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$只有一个实根．构造函数
$g（x）=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，利用导数分析其单调性，并画出其图象大致形状，数形结合可得方程$a=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$只有一个实根时的实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³-x²，
设切点P为（x₀，y₀），则${f}^{′}（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}$，
∴过P点的切线方程为$y=（3{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}）（x-{x}_{0}）+{{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}$．
该直线经过点（1，0），
∴有$（3{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}）（1-{x}_{0}）+{{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}=0$，化简得${{x}_{0}}^{3}-2{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}=0$，
解得x₀=0或x₀=1，
∴切线方程为y=0和y=x-1；
（Ⅱ）曲线y=f（x）与直线y=x-1只有一个交点，等价于关于x的方程ax²=x³-x+1只有一个实根．
显然x≠0，
∴方程$a=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$只有一个实根．
设函数$g（x）=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，则${g}^{′}（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{{x}^{3}}=\frac{{x}^{3}+x-2}{{x}^{3}}$．
设h（x）=x³+x-2，h′（x）=3x²+1＞0，h（x）为增函数，又h（1）=0．
∴当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
∴g（x）在x=1时取极小值1．
又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷；
又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷．
∴g（x）图象大致如图所示：

∴方程$a=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$只有一个实根时，实数a的取值范围为（-∞，1）．

点评 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是压轴题．