Question

已知二次函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数求函数y=f（log₂x），x∈[2，16]的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设二次函数f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0），将（0，-3）代入即可求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）设t=log₂x，由x∈[2，16]⇒t∈[1，2]，利用复合函数的单调性即可求得其最大值．

解答：解（Ⅰ）由题意可设二次函数f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0）---------------------------（2分）
当x=0时，y=-3，即有-3=a（-1）（-3），
解得a=-1，f（x）=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3，
∴f（x）的解析式为f（x）=-x²+4x-3．-----------（6分）
（Ⅱ）设t=log₂x，∵x∈[2，16]，
∴t∈[1，4]，
y=f（log₂x）=-lo

g

2 2

x+4log₂x-3=-t²+4t-3，-----------------------（7分）
∴在t∈[1，2]上为增函数，
∴在t∈[2，4]上为减函数，-----------------------------------------------（8分）
∴t=2即x=4时，y_最大=1---------------------------------------------（10分）
∴t=4即x=16时，y_最小=-3-------------------------------------------（12分）

点评：本题考查二次函数的解析式，考查复合函数的单调性与综合应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．