Question

已知；椭圆C的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），左焦点为F(-2

2

，  0)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点B（0，-2）的直线l，使直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N，并满足|AM|=|AN|，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，则b=2，c=2

2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设存在直线l：y=kx-2（k≠0），则由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，由

y=kx-2 x2 12 + y2 4 =1

，消去y，得x²+3（kx-2）²=12．再由根的判别式和韦达定理知存在直线l满足题意，其直线l的方程为y=±

3

3

x-2．

解答：解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，则b=2，c=2

2

∴a²=c²+b²=12．
即椭圆方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）设存在直线l：y=kx-2（k≠0），则由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上
由

y=kx-2 x2 12 + y2 4 =1

，消去y，得x²+3（kx-2）²=12．
即（1+3k²）x²-12kx=0（*）
∵k≠0，∴△=（-12k）²=144k²＞0，即方程（*）有两个不相等的实根
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x₀，y₀），
则x1+x2=

12k

1+3k2

．∴x0=

x1+x2

2

=

6k

1+3k2

．y0=kx0-2=

6k2-2(1+3k2)

1+3k2

=-

2

1+3k2

．
即P(

6k

1+3k2

，

-2

1+3k2

)．直线AP的斜率为k1=

-2 1+3k2 -2

6k 1+3k2

=

-2-2(1+3k2)

6k

．
由AP⊥MN，得

-2-2(1+3k2)

6k

×k=-1．
∴2+2+6k²=6，∴k=±

3

3

．
∴存在直线l满足题意，其直线l的方程为y=±

3

3

x-2．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．