Question

8．已知函数f（x）=|2cos3x+1|，若f（2x）=-f（2x+a）恒成立，则实数a的最小正值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根据余弦函数的性质，可以求出函数f（x）=|1+2cos3x|的周期，由f（2x）=-f（2x+a）恒成立，可以推出f（2x）的周期为a，然后求出f（x）的周期，从而求解．

解答 解：∵函数f（x）=|1+2cos3x|，
∴函数f（x）的最小正周期为：$\frac{2π}{3}$，
∵f（2x）=-f（2x+a）恒成立，即f（2x）=f（2x+2a），
∴f（2x）的最小正周期为a，
∴f（x）的最小正周期为2a，
∴2a=$\frac{2π}{3}$，
∴a=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 要知道y=f（x）和y=f（2x）之间的联系和区别，注意函数的周期与绝对值之间的关系，此题主要考查如何求函数的周期．