Question

13．已知函数f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{|x|}}$
（1）若f（x）=2，求实数x的值
（2）若不等式f（2t）-mf（t）≥0对t∈[1，2]恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=2即e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$=2，先解e^x，再解x值，注意e^x＞0；
（2）不等式f（2t）-mf（t）≥0恒成立，通过整理变形转化为m≤e^t+$\frac{1}{{e}^{t}}$恒成立，分离参数m后转化为求函数最值问题解决．

解答 解：（1）若x≤0，则f（x）=e^x-e^x=0，
f（x）=2即e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$=2，（x＞0），
得e^2x-2•e^x-1=0，
∴e^x=1-$\sqrt{2}$（舍去）或e^x=1+$\sqrt{2}$，
∴x=ln（1+$\sqrt{2}$）；
（2）由x＞0可得f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$，
不等式f（2t）-mf（t）≥0对t∈[1，2]恒成立，即为
e^2t-$\frac{1}{{e}^{2t}}$-m（e^t-$\frac{1}{{e}^{t}}$）≥0，
∵t∈[1，2]，∴e^2t＞$\frac{1}{{e}^{2t}}$，e^t＞$\frac{1}{{e}^{t}}$，
∴m≤e^t+$\frac{1}{{e}^{t}}$恒成立，
由于t∈[1，2]，则e^t∈[e，e²]，
即有e^t+$\frac{1}{{e}^{t}}$的最小值为e+$\frac{1}{e}$，
∴m≤e+$\frac{1}{e}$，
因此m的最大值为e+$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查函数恒成立问题及指数方程的求解，考查学生的分析问题解决问题的能力，恒成立问题往往转化为求函数最值问题解决，或分离参数后再求函数最值．