Question

2．不等式ax²y²+x²+y²-3xy+a-1≥0对任意的x，y∈R恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得（x²+y²-2xy）+（ax²y²-xy+a-1）≥0，即有（x-y）²+（ax²y²-xy+a-1）≥0恒成立，等价为ax²y²-xy+a-1≥0恒成立．即有a＞0，判别式非负，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：不等式ax²y²+x²+y²-3xy+a-1≥0，
即为（x²+y²-2xy）+（ax²y²-xy+a-1）≥0，
即有（x-y）²+（ax²y²-xy+a-1）≥0恒成立，
即为ax²y²-xy+a-1≥0恒成立．
则有a＞0，且判别式△=1-4a（a-1）≤0，
解得a≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：[$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题，注意运用配方和二次函数的恒成立解法：由判别式非负，考查运算能力，属于中档题．