Question

11．设f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．
（1）求f（1）；
（2）若f（x）+2≤f（x+8），求x的取值范围．

Answer 1

分析 ①利用赋值法进行求f（1）的值；      
②根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
③根据函数单调性的性质解不等式即可．

解答 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）∵f（3）=1，
∴f（3）+f（3）=1+1=2，
即f（3×3）=f（9）=2，
则不等式f（x）+2≤f（x+8），
等价为f（x）+f（9）≤f（x+8），
即f（9x）≤f（x+8），
∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+8＞0}\\{9x≤x+8}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞-8}\\{x≤1}\end{array}\right.$，解得0＜x≤1，
即不等式的解集为（0，1]．

点评 本题主要考查抽象函数的求值，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，利用函数的单调性的应用是解决本题的关键，考查学生的运算能力．