Question

3．设a+b+c=3，且a＜b＜c，若a，b，c成等差数列，a²，b²，c²成等比数列，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 根据题意a，b，c成等差数列，设出公差d，求出b的值，再由a²，b²，c²成等比数列，
列出方程求出公差d，即得a、c的值．

解答 解：∵a＜b＜c，且a，b，c成等差数列，
∴设a=b-d，c=b+d，公差d＞0；
又a+b+c=3，∴b=1；
又a²，b²，c²成等比数列，
∴b⁴=a²•c²，即1⁴=（1-d）²（1+d）²，
∴1=1-2d²+d⁴，
∴d⁴-2d²=0，
解得d=$\sqrt{2}$，或d=0（不合题意，舍去），
∴a=1-$\sqrt{2}$，c=1+$\sqrt{2}$；
综上，a=1-$\sqrt{2}$，b=1，c=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等差与等比数列的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．