Question

10．二次函数f（x）的图象过点为A（-1，-16），且f（x）≤0的解集为{x|-5≤x≤3}，g（x）=2x²+ax+1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式g（x）≥0；
（3）若不等式xf（x）≥g（x）在区间x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件可设f（x）=a（x-3）（x+5），（a＞0），代入A的坐标，可得a=1，求得f（x）的解析式；
（2）求得判别式，讨论大于0和小于等于0，求得两根，可得解集；
（3）由题意可得a+15≤x²-$\frac{1}{x}$在[1，2]的最小值，运用导数求得右边函数的单调性，可得最小值，解a的不等式，即可得到范围．

解答 解：（1）f（x）≤0的解集为{x|-5≤x≤3}，
可设f（x）=a（x-3）（x+5），（a＞0），
代入A（-1，-16），可得-16a=-16，
解得a=1，则f（x）=x²+2x-15；
（2）2x²+ax+1≥0，
当判别式△=a²-8≤0，即-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$时，
不等式的解集为R；
当a＞2$\sqrt{2}$或a＜-2$\sqrt{2}$时，求得x_1，2=$\frac{-a±\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，
可得解集为{x|x≥$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$或x≤$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$}；
（3）不等式xf（x）≥g（x）在区间x∈[1，2]上恒成立，
即为x（x²+2x-15）≥2x²+ax+1，
即有a+15≤x²-$\frac{1}{x}$在[1，2]的最小值，
由x²-$\frac{1}{x}$的导数为2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在[1，2]恒成立，
即有最小值为0，
则有a+15≤0，解得a≤-15．
即a的取值范围是（-∞，-15]．

点评 本题考查不等式解法和二次函数的解析式的求法，考查函数的单调性的运用和分类讨论的思想方法，属于中档题．