Question

18．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最小值1和最大值4，设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）-kx-4≤0在x∈[-1，0）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的对称轴，可得区间[2，3]为增区间，可得a，b方程，解得a=1，b=0；
（2）化简f（x），由题意可得k≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{6}{x}$+1在[-1，0）恒成立．运用配方和二次函数的最值求法，可得最小值为8，进而得到k的范围．

解答 解：（1）函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）的对称轴为x=1，
区间[2，3]在对称轴的右边，为增区间，
即有g（2）=1，g（3）=4，
即为1+b=1，3a+1+b=4，
解得a=1，b=0；
（2）f（x）=$\frac{g（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-2，
不等式f（x）-kx-4≤0在x∈[-1，0）恒成立，
即为k≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{6}{x}$+1在[-1，0）恒成立．
由$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{6}{x}$+1=（$\frac{1}{x}$-3）²-8，由$\frac{1}{x}$≤-1，
可得当x=-1时，取得最小值8，
则有k≤8，
即k的取值范围是（-∞，8]．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查运算能力，属于中档题．