Question

9．已知f（x）=ax²-2x（0≤x≤1）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥-1恒成立，求a的范围；
（3）若f（x）=0的两根都在[0，1]内，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）对于函数f（x）=ax²-2x，①当a=0时，f（x）=-2x，可得函数f（x）的最小值．②当a≠0时，再分a＜0，、0＜a＜1、a≥1三种情况，分别利用二次函数的性质求得它的最小值．
（2）由题意可得ax²-2x+1≥0恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4a≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．
（3）由题意可得0＜$\frac{1}{a}$≤1，由此求得a的范围．

解答 解：（1）对于函数f（x）=ax²-2x，
①当a=0时，f（x）=-2x，再结合0≤x≤1，
可得当x=1时，函数f（x）取得最小值为-2．
②当a≠0时，它的图象的对称轴方程为x=$\frac{1}{a}$，
若a＜0，它的图象的对称轴方程为x=$\frac{1}{a}$＜0，
再结合0≤x≤1，则当x=1时，函数f（x）取得最小值为a-2．
若0＜a＜1，则它的图象的对称轴方程为x=$\frac{1}{a}$＞1，再结合0≤x≤1，
则当x=1时，函数f（x）取得最小值为a-2．
若a≥1，则它的图象的对称轴方程为x=$\frac{1}{a}$≤1，再结合0≤x≤1，
则当x=$\frac{1}{a}$时，函数f（x）取得最小值为$\frac{1}{a}$-2．
（2）若f（x）≥-1恒成立，则ax²-2x+1≥0恒成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4a≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，求得a≥1．
（3）若f（x）=ax²-2x=0的两根都在[0，1]内，则0＜$\frac{1}{a}$≤1，求得a≥2．

点评 本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．