Question

17．已知直角三角形的周长为4．求这个直角三角形面积的最大值．并求此时各边的长．

Answer 1

分析 设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L=a+b+c，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，两次运用均值不等式即可求解．

解答 解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为S，周长L=4，
由于a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=4≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$．（当且仅当a=b时取等号）
∴$\sqrt{ab}$≤4-2$\sqrt{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$（4-2$\sqrt{2}$）²=12-8$\sqrt{2}$
∴这个直角三角形面积的最大值为12-8$\sqrt{2}$，各边的长为a=b=4-2$\sqrt{2}$，c=4$\sqrt{2}$-4．

点评 利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．