Question

8．某品牌空调企业为扩大投资效益．决定成立科研课题组来研发一种新产品．根据分析和预测．新产品若研发成功，可获得10万元-1000万元的投资收益，与此同时，企业拟制订方案对课题组进行奖励，奖励方案是通过奖金y（单位：万元）与投资收益x（单位：万元）的模拟函数来进行，要求模拟函数y=f（x）所满足的条件是：（i）y=f（x）在[10，1000]上是增函数；（ii）f（x）≤9；（iii）f（x）≤$\frac{1}{5}$x．
（1）试分析下列模拟函数中哪个符合奖励方案的要求？并说明你的理由．
①f（x）=-（x-10）³+9；②f（x）=4e^x+9；③f（x）=4lgx-3．
（2）对于（1）中符合奖励方案要求的模拟函数f（x），若使得f（x）＜kx-3在（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①通过f（x）=-（x-10）³+9在[10，1000]上单调递减可排除，②通过f（x）=4e^x+9在[10，1000]上单调递增，且最大值大于9可排除，③易知f（x）=4lgx-3在[10，1000]上单调递增，且最大值为9，通过令g（x）=4lgx-3-$\frac{1}{5}$x，并利用导数可知g（x）在[10，1000]上单调递减，进而可知g（x）＜0，从而4lgx-3＜$\frac{1}{5}$x；
（2）通过（1）可知f（x）＜kx-3在（0，+∞）上恒成立，即t（x）=$\frac{4lgx}{x}$＜k在（0，+∞）上恒成立，通过求导可知t（x）=$\frac{4lgx}{x}$在x=e时取最大值，进而可得结论．

解答 解：（1）结论：下列模拟函数中③符合奖励方案的要求．
理由如下：①∵f（x）=-（x-10）³+9在[10，1000]上单调递减，
∴与y=f（x）在[10，1000]上是增函数矛盾，故排除；
②∵f（x）=4e^x+9在[10，1000]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（1000），显然与f（x）≤9矛盾，故排除；
③易知f（x）=4lgx-3在[10，1000]上单调递增，
且f（1000）=4lg10³-3=9，
令g（x）=4lgx-3-$\frac{1}{5}$x，则g′（x）=$\frac{4}{x}$•$\frac{1}{ln10}$-$\frac{1}{5}$，
又∵当x∈[10，1000]时$\frac{4}{x}$≤$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，且$\frac{1}{ln10}$＜$\frac{1}{ln{e}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）＜0，即g（x）在[10，1000]上单调递减，
∴g（x）≤g（10）=4lg10-3-2=-1＜0，
∴4lgx-3＜$\frac{1}{5}$x，
∴模拟函数f（x）=4lgx-3满足符合奖励方案；
（2）由（1）可知f（x）＜kx-3在（0，+∞）上恒成立，
∴4lgx-3＜kx-3在（0，+∞）上恒成立，
即4lgx＜kx在（0，+∞）上恒成立，
即$\frac{4lgx}{x}$＜k在（0，+∞）上恒成立，
记t（x）=$\frac{4lgx}{x}$，则t′（x）=4•$\frac{\frac{1}{xln10}•x-lgx}{{x}^{2}}$=$\frac{lge-lgx}{{x}^{2}}$，
令t′（x）=0，可知x=e，
∴t（x）≤t（e）=4•$\frac{lge}{e}$=$\frac{4lge}{e}$，
∴实数k的取值范围是[$\frac{4lge}{e}$，+∞）．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查利用导数研究函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．