Question

18．已知a，b，c∈R⁺，且满足$\frac{kabc}{a+b+c}$≤（a+b）²+（a+b+4c）²，求k的最大值．

Answer 1

分析 运用均值不等式，对不等式的右边变形，再将a+b+c乘到右边，除以abc，拆成五项的和相乘，再由均值不等式，即可得到最小值，可得k的最大值．

解答 解：由均值不等式得，（a+b）²+（a+b+4c）²=（a+b）²+[（a+2c）+（b+2c）]²
≥[2$\sqrt{ab}$]²+[2$\sqrt{2ac}$+2$\sqrt{2bc}$）]²=4ab+8ac+8bc+16c$\sqrt{ab}$，
于是$\frac{[（a+b）^{2}+（a+b+4c）^{2}]（a+b+c）}{abc}$≥$\frac{（4ab+8ac+8bc+16c\sqrt{ab}）（a+b+c）}{abc}$
=（$\frac{4}{c}$+$\frac{8}{b}$+$\frac{8}{a}$+$\frac{16}{\sqrt{ab}}$）（a+b+c）
=8（$\frac{1}{2c}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$）（$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$+$\frac{b}{2}$+$\frac{b}{2}$+c）
≥8•5•$\root{5}{\frac{1}{2c{a}^{2}{b}^{2}}}$•5•$\root{5}{\frac{{a}^{2}{b}^{2}c}{16}}$=100．
∴当且仅当a=b=2c＞0时取最小值，
由题意可得k≤$\frac{[（a+b）^{2}+（a+b+4c）^{2}]（a+b+c）}{abc}$恒成立．
即有k≤100．
故k的最大值为100．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用均值不等式，以及满足的条件：一正二定三等，具有一定的技巧，属于难题．