Question

6．已知函数f（x）=x²+ax+b-2，a，b∈R．
（1）当|f（x）|≤$\frac{1}{2}$对x∈[1，3]恒成立时，求a，b的值；
（2）当f（x）在区间[1，3]上有两个不同零点时，求a+2b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，x²+ax+b-2=$\frac{1}{2}$的两个根为1，3，利用韦达定理，即可求a，b的值；
（2）当f（x）在区间[1，3]上有两个不同零点时，可得约束条件，利用线性规划知识求a+2b的取值范围．

解答 解：（1）由题意，x²+ax+b-2=$\frac{1}{2}$的两个根为1，3，则1+3=-a，1×3=b-$\frac{5}{2}$，
∴a=-4，b=$\frac{11}{2}$；
（2）若f（x）在区间[1，3]上有两个不同零点时，
则$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4（b-2）＞0}\\{f（1）=a+b-1≥0}\\{f（3）=3a+b+7≥0}\\{1＜-\frac{a}{2}＜3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4b＜{a}^{2}+8}\\{a+b-1≥0}\\{3a+b+7≥0}\\{-6＜a＜-2}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=a+2b，即b=-$\frac{1}{2}$a+$\frac{z}{2}$，
平移直线b=-$\frac{1}{2}$a+$\frac{z}{2}$由图象知当直线经过点A时，
直线b=-$\frac{1}{2}$a+$\frac{z}{2}$的截距最小，
经过点B时，直线b=-$\frac{1}{2}$a+$\frac{z}{2}$的截距最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{a+b-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$，即A（-2，3），
此时z=a+2b=-2+6=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{3a+b+7=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=11}\end{array}\right.$，即B（-6，11），
此时z=a+2b=-6+22=16，
即4＜z＜16，
即a+2b的取值范围是（4，16）．

点评 本题考查线性规划知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．