Question

15．设f（x）是定义在R上的减函数，且对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值； 
（2）求证f（x）是奇函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，计算即可得到f（0）；（2）可令x+y=0，结合（1）的结论，由奇偶性的定义，即可得证；
（3）运用（2）的结论和条件：f（x）是定义在R上的减函数，可得不等式t²-2t＞k-2t²，再由参数分离和二次函数的最值求法，即可得到所求范围．

解答 解：（1）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
可令x=y=0，可得f（0）=2f（0），
解得f（0）=0；
（2）证明：令x+y=0，即y=-x，
则f（0）=f（x）+f（-x），
由f（0）=0，可得f（-x）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（3）解：对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
即有f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
由f（-x）=-f（x），可得
f（t²-2t）＜f（-2t²+k），
由f（x）是定义在R上的减函数，
即有t²-2t＞k-2t²，
即k＜3t²-2t恒成立，
由3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，可得t=$\frac{1}{3}$，
取得最小值-$\frac{1}{3}$，
则k＜-$\frac{1}{3}$．
故k的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的运用：解不等式，考查赋值法的运用，以及运算求解能力，属于中档题．