Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且原点到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，过点A的直线l交两圆于点M（M不与椭圆的顶点重合），线段AM的垂直平分线交y轴于点P（0，y₀）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PM}$=4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）通过设直线AB的方程为：y=$\frac{b}{a}$x+b，利用椭圆离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$、计算可知$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，利用点到直线的距离、计算可知b=1，进而可知椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）通过（1）可知A（-2，0），通过设直线l方程为y=kx+2k，并与椭圆方程联立、利用韦达定理可知-2+x_M=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，从而可知M（$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），进而可知线段AM的中点Q（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$），通过在线段AM的垂直平分线方程y-$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）中令x=0、计算可知P（0，-$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$），进而利用$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PM}$=4、计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，直线AB的方程为：y=$\frac{b}{a}$x+b，
∵椭圆离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${e}^{2}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又∵原点到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{b}{\sqrt{1+（{\frac{b}{a}）}^{2}}}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{b}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由（1）可知A（-2，0），
依题意，直线l的斜率存在且不为零，
故可设直线l方程为：y=kx+2k，并与椭圆方程联立，
消去y整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
∴x_A+x_M=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴x_M=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$-x_A=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+2=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
y_M=k（x_M+2）=k（$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+2）=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
即M（$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），
又∵A（-2，0），
∴线段AM的中点Q（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$），
∴线段AM的垂直平分线方程为：y-$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），
令x=0，则y₀=-$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$，即P（0，-$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$），
∵$\overrightarrow{PA}$=（-2，$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$），$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{10k}{1+4{k}^{2}}$），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PM}$=（-2，$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$）•（$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{10k}{1+4{k}^{2}}$）
=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{60{k}^{2}}{（{1+4{k}^{2}）}^{2}}$
=$\frac{64{k}^{4}+60{k}^{2}-4}{16{k}^{4}+8{k}^{2}+1}$
=4，
∴64k⁴+60k²-4=4（16k⁴+8k²+1），
化简得：28k²-8=0，
解得：k=±$\frac{2\sqrt{14}}{14}$，
∴直线l的方程为y=±$\frac{2\sqrt{14}}{14}$（x+2）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．